3章 3までの自然数を構成する

3章の目的

本書（小学校数学）の前提はZFC公理だけです。つまり、自然数の存在は自明ではありません。

そこで、まずは自然数を構成することが必要です。ただし、いきなり全部やると難しいです（特に、無限集合の考慮が必要です）。

本章では、有限の自然数として、10までの自然数とその足し算を考えてみたいと思います。

自然数の構成

さっそく、自然数を構成していきます。ちなみに、ZFC公理のうち、使うものは以下の公理です：

• 空集合の公理
• 対の公理
• 和集合の公理

まずはゼロが必要です。集合で対応しそうなものといえば空集合です。

$$n_0:=\varnothing$$

ここで、空集合の公理から、$n_0$は集合です。

つぎに、「$1$」が必要です。今度は以下のような集合を考えます：

$$n_1:=\varnothing \cup \{\varnothing \}(=n_0\cup \{n_0\})$$

ここで、$n_1$は集合です。なぜなら、

• 対の公理から、$\{\varnothing \}=\{\varnothing ,\varnothing \}$ は集合である
• 対の公理から、$X:=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}$は集合である
• 和集合の公理から、${\bigcup }_{x\in X}x=\varnothing \cup \{\varnothing \}$は集合である

からです。

以降、同じ方法で以下の集合を考えます：

$$\begin{gathered} n_2:=n_1\cup \{n_1\} \\ {n}_3:=n_2\cup \{n_2\} \end{gathered}$$

以上により、$0$から$3$に対応しそうな集合が作れました。最後に、これを1つの集合にまとめておきます：

$${\mathbb{N}}_3:=\{n_0,n_1,n_2,n_3\}$$

なお、${\mathbb{N}}_3$も集合です。これは、対の公理と和集合の公理を繰り返し適用することで証明できます。詳しい証明は、章末コラムを参照してください。

足し算の構成

3までの集合（≒自然数）が作れたので、次に足し算を構成していきます。

有限個の数なので、地道に書き下せば、構成できてしまいます（4個の数の足し算なので、$4\times 4=16$を書き下します）。

$$\begin{gathered} n_0+n_0=n_0 \\ {n}_0+n_1=n_1 \\ {n}_0+n_2=n_2 \\ {n}_0+n_3=n_3 \\ --- \\ {n}_1+n_0=n_1 \\ {n}_1+n_1=n_2 \\ {n}_1+n_2=n_3 \\ {n}_1+n_3=n_4 \\ --- \\ {n}_2+n_0=n_2 \\ {n}_2+n_1=n_3 \\ {n}_2+n_2=n_4 \\ {n}_2+n_3=n_5 \\ --- \\ {n}_3+n_0=n_3 \\ {n}_3+n_1=n_4 \\ {n}_3+n_2=n_5 \\ {n}_3+n_3=n_6 \end{gathered}$$

書き下しの限界と次章に向けたアイデア

これで、足し算の定義ができました。ただし、上記は書き下して無理やり定義しただけです。特に、大きな数の足し算を考える際に、拡張性がありません。

そこで、「次の数」を使ったアイデアを考えてみます。

順番に並べると、$n_0,n_1,n_2,n_3$であり、次の数とは、この並び順に従った次の数です。つまり、

• $n_0$の次の数は$n_1$である。
• $n_1$の次の数は$n_2$である。
• $n_2$の次の数は$n_3$である。
• $n_3$の次の数は$n_4$である。

また、次の数とは、$n_1$を足した結果とも言えます。 そのため、以下のように$n_1$の和で表すこともできます：

• $n_1=n_1$
• $n_2=n_1+n_1$
• $n_3=n_2+n_1=n_1+n_1+n_1$

上記を用いると、二つの数の足し算は、「$n_1$を何回足すか？」で定義することができます（もしくは、「次の数」を繰り返し計算するとも言えます）。

例えば、$n_1$と$n_2$の足し算を考えます。$n_2=n_1+n_1$より、「$n_1$を2回足す」（次の次の数を求める）ということであり、結果は$n_3$となることがわかります。式変形を丁寧に行うと、以下の通りです：

$$\begin{array}{rl}{n}_1+n_2& =n_1+(n_1+n_1)\\ & =(n_1+n_1)+n_1\\ & =n_2+n_1\\ & =n_3\end{array}$$

これが、全ての自然数に対して、足し算を定義するアイデアです。大きな数の足し算でも、同様に計算ができます。

まとめ

今回は3までの小さな自然数だけを対象に、その構成と足し算を考えました。次章では、いよいよ無限集合（すべての自然数）を扱っていきたいと思います。