補題：3つの集合と対の公理

2章で説明した通り、対の公理は、2つの集合を組み合わせることができる公理です：

任意の集合$x,y$について、$\{x,y\}$は集合である。

ここで、3つの集合に対しても同じことが証明できます：

任意の集合$x,y,z$について、$\{x,y,z\}$は集合である。

これは、和集合の公理と組み合わせることで証明ができます。なお、4つ以上の有限個の集合に対しても、同様に証明ができます。

証明

任意の集合$x,y,z$について、$\{x,y,z\}$は集合である。

早速証明していきます。まず、対の公理を2回適用することで、以下の集合が得られます。

$$\begin{gathered} A:=\{x,y\} \\ B:=\{z\} \\ C:=\{A,B\}=\{\{x,y\},\{z\}\} \end{gathered}$$

ここで、和集合の公理を$C$に適用すると、以下の集合が得られます：

$$\begin{gathered} D:=\bigcup _{a\in C}a=\{x,y\}\cup \{z\} \\ =\{x,y,z\} \end{gathered}$$

以上から、$\{x,y,z\}$は集合であることが証明できました。