コラム：集合宇宙は集合ではない

2章で説明した通り、集合宇宙は集合ではありません。これは、正則性公理から「自分自身を元に持つ集合は存在しない」を証明できるからです。

定理1：自分自身を元に持つ集合は存在しない

まずは、定理1を証明します。証明には、背理法を使います。

まず、$x\in x$となる集合を仮定します。

対の公理より、$A=\{x\}$ は集合です（※任意の集合$a$に対して$\{a\}$は集合です）。

正則性公理によると、$A$は空集合か、自身と互いに素な元を持ちます。ただし、空集合ではないので、互いに素な元を持ちます。さらに、$A$の元は$x$だけなので、$A\cap x=\varnothing$であることになります。

ここで、最初の仮定より$x\in x$であるため、$x\in A\cap x$となります。つまり、$A$と$x$は互いに素ではありません。

よって、矛盾が導かれるため、$x\in x$となる集合は存在しません。

定理2：集合宇宙は集合ではない

次に、「集合宇宙は集合ではない」を説明します。こちらも背理法を使います。

まず、集合宇宙$V$を集合であると仮定します。つまり、$V$ は集合宇宙$V$に含まれる一つの集合である（$V\in V$）となります。

これは、定理1に矛盾します。したがって、集合宇宙$V$は集合ではありません。