2章まずはZFC公理を知る

2章の目的

小学校数学を始めるにあたり、ZFC公理を知る必要があります。ただ、ZFC公理そのものは本書の目的ではなく、あくまで出発点や道具としての位置付けです。そのため、本章ではZFC公理の一覧とその意味を知ることを目的とします。なお、より厳密な定義などはその他の書籍に譲ります（もしくは、本書で必要になったときに、最小限の定義をするものとします）。

ZFC公理とは

ZFC公理とは、集合が満たすべき性質（公理）を集めたもので、以下がその公理です：

外延性の公理
空集合の公理
対の公理
和集合の公理
無限公理
冪集合公理
置換公理
正則性公理（基礎の公理）
選択公理

ここで、ZFC公理の少し特殊な点があり、それは公理が素朴すぎることです。つまり、当たり前のことを論理式で難しく定義しているように見えて、結局なにが大事なのかがわかりにくいのです。そこで、ZFC公理の定義を説明するまえに、本書では"そもそもの前提"を明らかにしておきます。

本書の前提～集合宇宙～

ZFC公理を定義する前に、"そもそもの前提"を定義しておきます。それは、集合の集まりである集合宇宙があること、集合には $\in$ という操作ができることです。

まず、集合宇宙 $V$ を仮定します。これは集合の集まりです。集合の集まりというと、当たり前のような、よくわからないような、という気がするかもしれません。ただ、以下を意識するとよいと思います：

$V$ 自体は、集合ではない（詳しくは、章末コラム「集合宇宙は集合ではない」を参照してください）。
$V$ は一つではない。特に、「全ての集合を集めたもの」ではない。例えば、私の考える $V$ と読者が考える $V$ は同じとは限らないです（だからこそ、「その $V$ の中に自然数があるのか？」を考える必要がある）。
本書で仮定するのは、集合宇宙が"ZFC公理を満たす"ということだけ。

次に、集合に対する操作 $\in$ を仮定します（より正確には、論理式です）。これは、一般的な「含まれる」の意味と同じです。集合宇宙 $V$ の中の集合 $x, y$ に対して、 $x \in y$ と書き、True/Falseのいずれかになります。こちらも注意点として、以下があります：

通常、 $x \in V$ とは書かない（集合宇宙 $V$ が集合ではないため）
$x \in y$ と書いたとき、 $x$ も集合である（集合宇宙 $V$ の中にあるのは集合だけで、"要素"と"集合"のような区別がない）

以上が、本書の前提です。以降では、「集合宇宙 $V$ の中の $x$ 」ではなく、単に「集合 $x$ 」と書くものとします。

では、これからZFC公理の説明に入ります。なお、ZFC公理はあくまで本書の準備・道具という位置付けです。ある程度知っている読者は、今の段階では読み飛ばして、使うときにまた戻ってきて読んでもらっても構いません。

外延性公理

一つ目は、集合 $x, y$ に対する等号の定義（公理）です。

一般的な集合の定義と同じで、 $x$ と $y$ の全ての元が一致する場合、 $x = y$ とします。論理式で書くと、以下の通りです：

$x = y \Leftrightarrow \forall a (a \in x \Leftrightarrow a \in y)$

例えば、 ${1, 1, 2} = {1, 2} \neq = {0, 1}$ です（今時点では自然数を定義していないため、この例はあくまでイメージだと思ってください）。

note

等号の定義（公理）と濁して書きましたが、正確には公理であって定義ではありません。ただ、定義と区別できないくらい、外延性公理は当たり前のことを言っているとも思えます。また、公理は満たすべき性質/前提であるので、ある人が「定義」と考えていても、結果的に外延性公理を満たしていれば問題ないかもしれません。

空集合の公理

元をもたない集合（空集合） $\emptyset$ が存在する。

これは、集合宇宙 $V$ に少なくとも一つの集合があると仮定していると考えられます。

対の公理

任意の集合 $x, y$ について、 ${x, y}$ は集合である。

note

$x = {1, 2}, y = {2, 3}$ の場合、 ${x, y} = {{1, 2}, {2, 3}}$ です。 ${1, 2, 3}$ とは違います（これは、次節の和集合の公理で扱います）。

note

「 ${x, y}$ は集合である」と書きましたが、「集合宇宙 $V$ の中に ${x, y}$ という集合が存在する」と書いたほうが正確かもしれません。

和集合の公理

任意の集合 $X$ について、 $X$ に含まれる集合の元を集めたものは集合である。

これを、和集合 $⋃_{x \in X} x$ と書くことにして、定義は以下となります：

$x \in X ⋃ x = {a ∣\exists x \in X (a \in x)}$

note

集合 $x, y$ の和 $x \cup y$ は集合になります。これは、和集合の公理に加えて、対の公理と組み合わせることで導くことができます。

対の公理から、 $X := {x, y}$ が集合になるため、 $X$ に和集合の公理を適用することで $x \cup y$ が集合になることが証明できます。

無限公理

次を満たす集合 $A$ が存在する：

$\emptyset \in A$ $a \in A \Rightarrow a \cup {a} \in A$

note

筆者は、無限公理はあまり直感的ではないと思います。ただ、無限公理の意味としてはシンプルで、「無限集合で"帰納的"な構造を持つ集合が存在すること」を仮定しているイメージです。もしくは、自然数を含む集合が存在することを仮定しているとも言えます。

なお、自然数との対応付けは、次章以降で扱う予定です。

冪集合公理

任意の集合 $X$ について、その部分集合を全て集めたものは集合である。

以降では、部分集合を全て集めたものを冪集合 $P (X)$ と書くものとします。

note

集合 $x$ が $X$ の部分集合であるとは、以下を満たすときを言います： $\forall a \in x (a \in X)$

置換公理

論理式で記述できる集合の像は集合である。

ここで、「論理式で記述できる集合の像」の部分を説明します。

まず、2変数の論理式 $ψ (x, y)$ において、「一つの $x$ に対して、 $ψ (x, y) =$ Trueとなる $y$ は多くて一つである」ことを仮定します。論理式で書くと、以下です：

$\forall x, y, y^{'} (ψ (x, y) \land ψ (x, y^{'}) \Rightarrow y = y^{'})$

note

この仮定は、写像を意識するとわかりやすいと思います。 $ψ$ によって写像 $f$ を定義するなら、 $ψ (x, y)$ がTrueとなるときに $f (x) := y$ と定義することができそうです。 $ψ (x, y)$ がTrueになる $y$ は一つだけなので、像は一つに定まります（ただし、必ず $y$ が存在するわけではないため、写像として定義できるわけではありません）。

このとき、論理式 $ψ$ で記述できる集合 $X$ の像は、以下です：

${y ∣\exists x \in X (ψ (x, y))}$

置換公理では、上記の集合の像が集合であることを仮定しています。

note

論理式は「有限個の変数と論理記号で表せる式」です。つまり、好き勝手に集合の像を作れるわけではありません。言い換えると、「有限個のルールで作れるものは集合である」というイメージです。

note

一般のZFC公理には分出公理が含まれることがあります。ただ、分出公理は置換公理から導出できるため、本章では省略します（必要になった場合、その時に証明します）。

正則性公理

空集合でない任意の集合 $x$ は、自身と互いに素な元 $y$ が存在する。

自身と互いに素とは、 $x \cap y = \emptyset$ （共通部分がない）という意味です。

note

正則性公理は、循環構造も禁止しています。つまり、 $x \in x$ のような自分自身を元に持つ集合は存在しません。詳しくは、章末コラム「集合宇宙は集合ではない」を参照してください。

note

ちなみに、共通部分 $x \cap y$ も集合です。これは置換公理から導出できます。 $ψ (a, b) := a \in x \land b \in y$ という論理式に対して、置換公理を適用することで、共通部分が集合であることがわかります。

選択公理

集合 $X$ の全ての元が「空でない」かつ「互いに素」であるとき、全ての $x \in X$ から一つずつ元を取ってきたような集合（選択集合）が存在する。

論理式で書くと、次のようになります。まず、 $X$ の仮定は以下です：

$\forall x \in X (x \neq = \emptyset)$ $\forall x, y \in X (x = y \lor x \cap y = \emptyset)$

そして、選択集合 $A$ が存在して、以下を満たします：

$\forall x \in X \exists t (x \cap A = {t})$

note

選択公理は、なんらかの選択集合があるということしか仮定していません。つまり、自由に要素を選択してもよいわけではありません。

まとめ

今回は、「ゼロから小学校数学」をするための準備として、ZFC公理の説明を行いました。

次回からは、いよいよ小学校数学の本題に入りたいと思います。

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ゼロから小学校数学 ― ZFC公理からすべてを証明し直す