1章小学校算数で自明でない部分とは？

1章の目的

小学校数学を始める前に、そもそも小学校で何を学んだかを振り返りたいと思います。その上で、どこが自明ではないのか、どこを証明しないといけないのかを考えていきます。

みなさん、「小学校算数で習ったこと」を覚えていますか？

覚えているような、覚えていないような…という人が多いのではないでしょうか。まずは、学習指導要領を見ながら、小学校算数（数と計算）のカリキュラムを俯瞰していきます。

以下の表は、学習指導要領を基に、筆者が独自に作成した小学校算数のカリキュラムです。

学年	目的	概要
第1学年	数の概念と基本的な計算を学ぶ	自然数数の大小・順序加法・減法
第2学年	四則演算の基礎を身に付ける	加法・減法の性質乗法、分数（1/2、1/3など）の導入
第3学年	数の範囲を広げる	除法、小数、分数数量の関係を表す式
第4学年	より複雑な計算を学ぶ	整数の除法小数の計算同分母分数の加法・減法四則演算の性質
第5学年	分数・小数を発展させる	約数・倍数小数の乗法・除法分数の意味異分母分数の加法・減法
第6学年	小学校算数を完成させる	分数の乗法・除法文字を用いた式

出典：文部科学省『小学校学習指導要領（平成29年告示）解説算数編』図1（pp.12–15）を参考に筆者作成

なお、はじめにで書いた「スコープ」の通りで、以下の点は学習指導要領から意図的に変更しています：

小学校算数を振り返ってみて、どう感じましたか？

数は、自然数→分数や小数と発展していきます。計算は、足し算と引き算→乗法→除法と、四則演算を一通り学習しています。

これらは簡単な内容でしょうか？それとも、意外と複雑なことをやっていると思いますか？次節では、どこが自明ではないのか、つまり「小学校数学で証明するべき部分はどこか？」を考えていきます。

上記の小学校算数のカリキュラムを見たときに、どこが自明ではないのでしょうか？

本書での考え方は、「無限を扱ったら要注意」です。

基本的には、全て定義や証明が必要ではあるのですが、特に無限の操作は要注意です。

例えば、自然数は無限にあります。つまり、ほぼすべての土台である自然数に対しても要注意です。

自然数={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,....}

とはいえ、これを記号の羅列だと思えば、自然数自体はある程度自明です（実際、ZFC公理から構成するときも、比較的簡単です）。

一方で、足し算となると、さらに複雑になります。

0+0=0,
1+0=1, 1+1=2, 0+1=1
2+0=2, 2+1=3, 2+2=4, 1+2=3, 0+2=2
…

こちらも無限個の組があります。

仮に自然数が有限個なら、上記の通り、足し算を羅列すれば、ほぼ自明に定義が可能です。ただし、無限個なので、注意が必要です。

素朴に考えると、10進数表記で筆算することを考えれば、"アルゴリズム的に定義"ができそうです。

 123
+567
----
 690

各桁は0~9の足し算で記述できていて、有限回の操作で計算が終わります。これは、定義できていそうに見えます。

しかし、「表現方法（10進数表記）に依存しないのか？」や「アルゴリズムで定義するとはなにか？」が少し気になります。

本書では、上記のような曖昧性はなく、より厳密に定義する必要があると考えます。

足し算以外にも、分数や小数、掛け算や割り算も同様に考えていく必要があります。

では、何を証明すればよいのでしょうか？

本書のサブタイトルの通り、ZFC公理を用いて証明を行います。では、何を証明するのでしょうか。

まず、ZFC公理とは、簡単にいうと「集合が満たすべき性質の集まり」です。そして、これは公理なので、当たり前のことで自明である（単純すぎて証明できない）ものです。なお、ZFC公理の中身については、次章で詳しく説明します。

次に、ZFC公理（集合の性質）だけを基にして、自然数や足し算を構成していきます。ZFC公理という自明な性質を基に構成したので、それも正しい定義であるといえます。

※構成したものは、ある意味、自然数や足し算そのものではないですが、同じ構造を持っていることが示せれば、自然数や足し算も正しいと言えるはずです。

つまり、「ZFC公理だけを前提として、自然数や足し算を構成すること」が、本書で証明することの中心です。

※もちろん、掛け算や分数など、他も構成が必要です。また、その他の性質（足し算の可換性、分配法則など）は、別途証明が必要になると思います。

今回は、小学校算数を振り返ったうえで、小学校数学では何を証明すべきかを考えてきました。

まとめると、

の2点が重要なポイントです。次章以降では、ZFC公理を導入した後、自然数や足し算の構成に入っていきたいと思います。