ゼロから小学校数学 ― ZFC公理からすべてを証明し直す

小学校で習った算数を、あなたは本当に"理解"していますか？

  • 「分数は、整数か有限小数か循環小数である（逆も成り立つ）」
  • 「無限小数の足し算は、筆算で桁同士を足し合わせればよい」
  • 「分数の掛け算は、分母分子をそれぞれかければよい」

小学生の頃は、これらを理解し、計算できるようになっていた。と感じていた。

しかし、それは本当に理解しているのだろうか？ イメージ的な理解はできていても、論理的な理解はできていないのではないか？

先ほどの3つの例では、

  • 「分数は、整数か有限小数か循環小数であることの証明はどうするのだろうか？」
  • 「無限小数の足し算は、本当にできるのか？無限個の操作を、単純にしてしまってよいのだろうか？（収束や発散などは？）」
  • 「分数の掛け算は、分数の表記法に依らずにできるのか？（Well Definedなのか？）」

といったことを、理解していますか？すぐに答えられますか？

そもそも、整数とは何か？足し算とは何か？といった疑問を考えたこともなかったのではないか。

本書では、小学校算数ではなく、小学校"数学"として、より厳密に、一から理論を積み上げていくことを目的とする。あなたも一緒に、小学校数学を（ZFC公理系を出発点に）考え直してみませんか？

背景

小学校算数から始まり、中学校の数学、高校数学、そして大学数学と、徐々に難しく抽象的な数学を学ぶようになる。特に、"高校数学までは曖昧な"定義や"イメージや直感を用いた"説明だったが、大学数学では厳密な定義や証明をするようになる。

最もわかりやすい例は極限ではないだろうか。高校数学では、「xを∞に近づける」のような、イメージ的な定義をしている。これでも、例えば、x → ∞のとき、1/x → 0は、直感的に理解ができる。一方で、大学数学（数学科の2-3年生）では、イメージ的な定義ではなく、ε-δ論法を使った厳密な（論理的な）定義を行う。

他にもいくつか例はあるが、必ずしも、全ての概念を定義し直すことはしているのだろうか？

  • 実数の定義は？
  • 無限小数同士の足し算は？
  • そもそも自然数や整数は自明なのだろうか？

この疑問に答えるべく、ZFC公理を出発点にして、小学校算数を考え直していく（つまり、小学校数学を行う）。

目的

「小学校算数をゼロから証明し直すこと」が目的である。

「小学校算数」とは、学習指導要領に従う（後述の「前提」の通り）。

「ゼロから」とは、ZFC公理のみを出発点として、証明し直すという意味である。例えば、自然数の存在も自明ではなく、ZFC公理から導く必要がある。

注意

目的は「小学校算数をゼロから証明し直すこと」であって、「ZFC公理そのものの解説」は目的ではない。ZFC公理は、あくまで道具という位置付けである。そのため、ZFC公理の解説は最小限（道具として使えるレベル）とし、ZFC公理自体の厳密定義や詳細の解説は、他の本や記事に譲るものとする。

前提

  • 小学校学習指導要領（平成29年告知）概説のカリキュラムを前提とする

スコープ

  • 本書では、学習指導要領のうち「数と計算」の領域を対象とする
    • ※「図形」「測定」「データの活用」「数学的活動」は扱わない
  • なお「数と計算」はなるべくすべてを扱っていく方針だが、一部、日常生活に寄った話があるので、そういった部分は飛ばしていく。イメージとしては以下の通りである。
    • 対象とするもの
      • 数そのものの定義
      • 計算（足し算、掛け算など）
      • 順序など
    • 対象外とするもの
      • 日常生活的な説明（数を数えるなど）
      • 表記法（10進数関連）